எண் கணிதம் பாடம் 30: தொடர் கற்றலுக்கான பாதை — எண் கணிதத்தில் மேலும் கற்க வேண்டிய தலைப்புகள்

1. முன்னுரை: ஒரு பயணத்தின் நிறைவு, இன்னொரு பயணத்தின் தொடக்கம்

இதோ, “எண் கணிதம்” பாடத்தொடரின் முப்பதாவது, நிறைவுப் பாடத்துக்கு வந்துவிட்டோம். பித்தகோரியன் அட்டவணையில் A க்கு 1 என்று முதன்முதலில் எழுதிய நாளிலிருந்து, ஒருவருக்கு முழுமையான Reading நடத்தும் நிலை வரை இந்தப் பயணம் நம்மை அழைத்து வந்துள்ளது. இந்த இறுதிப் பாடம் மூன்று பணிகளைச் செய்கிறது: முதலாவது, இதுவரை கற்றவற்றை ஒருங்கிணைத்துச் சுருக்கமாக நினைவூட்டுகிறது; இரண்டாவது, உங்கள் தற்போதைய நிலையை நீங்களே மதிப்பிட உதவுகிறது; மூன்றாவது, இனி மேலும் கற்கக்கூடிய தலைப்புகளையும் ஒரு வழிகாட்டும் பாதையையும் முன்வைக்கிறது.

ஒரு பாடத்தொடரின் முடிவு கற்றலின் முடிவு அல்ல. உண்மையில் இப்போதுதான் உண்மையான கற்றல் தொடங்குகிறது: நீங்கள் கற்றதைப் பயன்படுத்தி, தவறுகள் செய்து, திருத்தி, ஆழமாக்கிக்கொள்ளும் கட்டம். அந்தக் கட்டத்துக்கான வரைபடமாக இந்தப் பாடம் அமையட்டும்.

2. 29 பாடங்களின் சுருக்கம்

இதுவரையிலான பாடங்களை ஏழு கட்டங்களாகப் பிரித்து நினைவுகூர்வோம். ஒவ்வொரு பாடத்தின் பெயரும் அதன் பக்கத்துக்கான இணைப்பாகத் தரப்பட்டுள்ளது; தேவையானபோது மீண்டும் படிக்கலாம்.

கடைசி வரிசையில் உள்ள நான்கு பாடங்களும் (26 முதல் 29) கற்றவற்றை நடைமுறைத் தொழில்முறையாக்கும் பாலம் என்பதால் அவற்றை ஒரு தனிக் கட்டமாக வைத்துள்ளோம்.

3. ஒன்பது அடிப்படைப் பாடங்கள் (இத்தொடரின் சாரம்)

முப்பது பாடங்களின் சாரத்தை ஒன்பது வாக்கியங்களில் சுருக்கலாம். இவற்றை நினைவில் வைத்துக்கொண்டால் நீங்கள் இத்தொடரின் மையத்தைக் கற்றுக்கொண்டீர்கள் எனலாம்.

1. எழுத்தும் எண்ணும் ஒரு மொழி: எழுத்துகளை எண்களாக மாற்றி ஒரு குறியீட்டு மொழியை உருவாக்குகிறோம்; முறை (பித்தகோரியன்/கபாலிக்) தெரிந்து தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.
2. ஒன்பதே அடிப்படை: எல்லா எண்களும் 1 முதல் 9 வரையிலான சுழற்சிக்குள் அடங்குகின்றன; முதன்மை எண்கள் அதற்குள் தனிச் சிறப்புடையவை.
3. பிறந்த தேதி நிலையானது; பெயர் அணுகுமுறை நெகிழ்வானது: வாழ்வுப் பாதை அடிப்படை; பெயர் எண்கள் வெளிப்பாட்டுப் பாணியைக் காட்டுகின்றன.
4. உள்ளும் புறமும்: ஆன்மா எண் உள்ளார்ந்த ஆசை; ஆளுமை எண் வெளித்தோற்றம்; இரண்டுக்கும் உள்ள இடைவெளி பல நேரம் மனிதரைப் புரிய வைக்கிறது.
5. காலம் சுழல்கிறது: அதே மனிதருக்கும் ஆண்டு, மாதம், நாள், வாழ்க்கைக் கட்டங்கள் வெவ்வேறு கருப்பொருள்களைத் தருகின்றன.
6. எண்கள் உரையாடுகின்றன: ஒற்றை எண்ணைவிட எண்களின் தொடர்புகளே ஆழமான புரிதலைத் தரும்.
7. கணிப்பு துல்லியம் அடிப்படை நேர்மை: அட்டவணை, சரிபார்ப்பு, ஒரே முறையைத் தொடர்ந்து பின்பற்றுதல் ஆகியவை நம்பகத்தன்மையைக் கட்டுகின்றன.
8. வழிகாட்டும் கருவி; உத்தரவாதம் அல்ல: எண் கணிதம் சுய சிந்தனைக்கும் முடிவெடுக்கும் உரையாடலுக்கும் ஒரு கருவி; மருத்துவம், சட்டம், நிதி, மனநலம் ஆகியவற்றுக்கு மாற்றல்ல.
9. மனிதரே மையம்: எண்களுக்கு மேலாக மனிதரின் உழைப்பு, தேர்வு, மதிப்புகள், உறவுகள் முக்கியம்.

4. உங்கள் தற்போதைய நிலையை மதிப்பிடுங்கள்

கீழ்க்காணும் கேள்விகளுக்கு நேர்மையாகப் பதில் சொல்லிப் பாருங்கள். இது தேர்வு அல்ல; தொடர் கற்றலுக்கான திசைகாட்டி.

5. மேலும் கற்கக்கூடிய தலைப்புகள்

இத்தொடர் எண் கணிதத்தின் அடிப்படைகளையும் பித்தகோரியன் முறையை மையமாகக் கொண்ட பயன்பாடுகளையும் உள்ளடக்கியது. இதற்கு அப்பால் ஆராயத்தக்க பல பாதைகள் உள்ளன. கீழே அவற்றின் அறிமுகம்; ஒவ்வொன்றையும் ஆழமாகக் கற்கும்போது நம்பகமான மூலங்களை ஒப்பிட்டு, ஆசிரியர்களிடம் கேள்வி கேட்டுப் படிப்பது நல்லது.

மேற்கண்ட தலைப்புகளில் சில (கல்டியன் முறை, இந்திய முறை, கர்ம எண்கள் போன்றவை) தொடர்பாகப் பல்வேறு ஆசிரியர்களும் நூல்களும் வெவ்வேறு விதிகளைச் சொல்கின்றன. ஒரே பெயர் வெவ்வேறு முறைகளில் வெவ்வேறு எண்களைத் தரலாம்; இது பிழை அல்ல, மரபு வேறுபாடு. எனவே எந்த முறையைப் பின்பற்றுகிறீர்கள் என்பதைத் தெளிவாகக் குறிப்பிடுவதும் ஒரே பணித்தாளில் முறைகளைக் கலக்காமல் இருப்பதும் அடிப்படை ஒழுக்கம்.

6. தொடர் கற்றலுக்கான மூன்று பாதைகள்

உங்கள் நோக்கத்தைப் பொறுத்து மூன்று வழிகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்; நிச்சயம் ஒன்றோடொன்று மாறவும் இணையவும் முடியும்.

6.1 சுய வளர்ச்சிப் பாதை

உங்களையும் குடும்பத்தையும் புரிந்துகொள்ளவும் வாழ்க்கை முடிவுகளைச் சிந்தனையுடன் எடுக்கவும் மட்டுமே எண் கணிதத்தைப் பயன்படுத்த விரும்பினால்:

• ஒவ்வோர் ஆண்டும் பிறந்த நாளன்று உங்கள் தனிநபர் ஆண்டைக் கணித்து, ஆண்டு இலக்குகளை எழுதுங்கள்.
• மாதத்தின் தொடக்கத்தில் தனிநபர் மாதத்தைப் பார்த்து, அந்த மாதம் எப்படி இருந்தது என்று மாத இறுதியில் குறிப்பு எழுதுங்கள்; எண்கள் பொருந்தினவா பொருந்தவில்லையா என்று நேர்மையாகப் பதியுங்கள்.
• பாடம் 14: சுய அறிவு / தன்னை அறிதல் மற்றும் பாடம் 23: எண்களும் மனித உறவுகளும் பாடங்களை மீண்டும் வாசித்து, உங்கள் உறவுகளில் எண்களை மென்மையான சிந்தனைக் கருவியாக்குங்கள்.

6.2 ஆலோசகர் பாதை

பிறருக்கு எண் கணித ஆலோசனை வழங்கும் எண்ணம் இருந்தால்:

• முதலில் குறைந்தது 50 நபர்களுக்கு (அனுமதியுடன், இலவசமாக) பணித்தாள்களை நிரப்பிப் பயிலுங்கள்.
• வழக்கு நாட்குறிப்பை வைத்துப் பின்தொடர்தல் செய்யுங்கள் (பாடம் 28: நடைமுறை உதாரண ஆய்வுகள்).
• ஆலோசனைத் திறன்கள், மனநல விழிப்புணர்வு, நெறிமுறைகள் ஆகியவற்றில் தனிப் பயிற்சி பெறுங்கள்.
• ஆலோசனை அளிக்கும்போது எந்தத் துறைகளில் உத்தரவாதம் தரக் கூடாது என்பதை எழுத்தில் வைத்துக்கொள்ளுங்கள்: மருத்துவம், சட்டம், முதலீடு, மனநலம்.
• கட்டணம் வசூலிக்கும் முன் சேவை எல்லைகளையும் தனியுரிமைக் கொள்கையையும் தெளிவாக வெளிப்படுத்துங்கள்.

6.3 ஆய்வுப் பாதை

வேறுபட்ட முறைகளை ஒப்பிட்டு ஆராய விருப்பமிருந்தால்:

• பித்தகோரியன், கபாலிக், கல்டியன், இந்திய முறைகளை ஒரே பெயர் தொகுப்புக்குப் பயன்படுத்தி ஒப்பீட்டு அட்டவணை உருவாக்குங்கள்.
• முன்கூட்டியே எழுதிய கருதுகோள்களைக் (hypothesis) குறித்துவைத்து, பின்னர் முடிவுகளைப் பதிவு செய்து ஒப்பிடுங்கள்; பொருந்தாதவற்றையும் நேர்மையாகப் பதியுங்கள்.
• மாதிரி அளவு, சார்பு, தற்செயல் ஒற்றுமை போன்ற புள்ளியியல் கருத்துகளை அறியுங்கள்.
• தமிழ்ப் பெயர்கள் மற்றும் ஒலிப்பெயர்ப்பு குறித்த சீரான விதிகளை உருவாக்கும் முயற்சிகளைச் செய்யலாம்.

7. பன்னிரண்டு மாதத் திட்டம் (மாதிரி)

8. ஜோதிடம் மற்றும் எண் கணிதம் ஒன்றை ஒன்று எவ்வாறு சந்திக்கின்றன?

இந்தத் தளத்தின் வாசகர்களில் பலர் ஜாதகம், நட்சத்திரம், தசா-புக்தி போன்ற ஜோதிடக் கருத்துகளுடன் பரிச்சயம் உள்ளவர்கள். எண் கணிதத்தில் ஒவ்வோர் எண்ணுக்கும் பாரம்பரியமாக ஒரு கிரகத் தொடர்பு சொல்லப்படுவதால் (பாடம் 26 இன் அட்டவணை 2 இல் காண்க) இரு துறைகளையும் ஒப்பிட்டுப் பார்க்கும் ஆர்வம் இயல்பானது. இதைப் பற்றிச் சில எச்சரிக்கையான வழிகாட்டுதல்கள்:

• இரு துறைகளும் தனித்தனி மரபுகள். ஒன்றின் முடிவை மற்றொன்றின் “உறுதிப்படுத்தலாக” எடுத்துக்கொள்ளாமல், இரண்டு பார்வைகளாகப் பாருங்கள்.
• இரு துறைகளிலும் கிரகத் தொடர்பு மரபுகள் ஆசிரியர்களுக்கு ஏற்ப மாறுபடலாம்; அவற்றை நிரூபிக்கப்பட்ட உண்மைகளாக அல்ல, மரபு சார்ந்த பொருத்தங்களாகக் கருதுங்கள்.
• ஜாதகம் பிறந்த நேரம், இடம் ஆகியவற்றைச் சார்ந்தது; எண் கணிதம் பிறந்த தேதி மற்றும் பெயரைச் சார்ந்தது. தரவு வேறுபடுவதால் முடிவுகள் வேறுபடுவது இயல்பு.
• இரு துறைகளையும் கலந்து ஆலோசனை தரும்போது, எந்த அம்சம் எந்தத் துறையிலிருந்து வருகிறது என்பதை வாடிக்கையாளருக்குத் தெளிவாகச் சொல்லுங்கள்.

9. நூல்களையும் ஆசிரியர்களையும் தேர்ந்தெடுக்கும் முறை

எண் கணிதத்தில் ஏராளமான நூல்கள், காணொளிகள், வகுப்புகள் உள்ளன. அவற்றின் தரம் மிகவும் மாறுபடுகிறது. தேர்ந்தெடுக்கும்போது இந்தக் கேள்விகளை எழுப்புங்கள்:

• ஆசிரியர் தன் முறையின் பெயரையும் வரம்பையும் வெளிப்படையாகச் சொல்கிறாரா?
• “நூறு சதவீதம் உறுதி”, “அதிசய மாற்றம்” போன்ற வாக்குறுதிகளை அளிக்கிறாரா? அப்படியெனில் எச்சரிக்கையாக இருங்கள்.
• கட்டணம் கற்றலின் மதிப்புக்குப் பொருந்துகிறதா? அச்சத்தைக் காட்டிப் பரிகாரப் பொருள்கள் விற்கப்படுகின்றனவா?
• கணிப்பு முறை தெளிவாக, சரிபார்க்கக்கூடிய வகையில் விளக்கப்படுகிறதா?
• மாணவர்களின் கேள்விகளுக்கும் முரண்பட்ட கருத்துகளுக்கும் இடம் தரப்படுகிறதா?

ஒரு நல்ல ஆசிரியர் “எனக்குத் தெரியாது; ஆராய்ந்து சொல்கிறேன்” என்று சொல்லத் தயங்க மாட்டார். அதே பண்பை நீங்களும் வளர்த்துக்கொள்ளுங்கள்.

10. ஆலோசகரின் நெறிமுறை உறுதிமொழி (மாதிரி)

நீங்கள் பிறருக்கு உதவ முன்வந்தால் பின்வரும் உறுதிமொழியைச் சிறிது மாற்றி உங்களுடையதாக்கலாம்:

1. நான் எண் கணிதத்தை வழிகாட்டும் கருவியாகவே முன்வைப்பேன்; உறுதியான முன்கணிப்பாக அல்ல.
2. மருத்துவம், சட்டம், நிதி, மனநலம் ஆகிய துறைகளில் தகுந்த நிபுணர்களிடம் செல்ல அறிவுறுத்துவேன்.
3. அச்சம் காட்டி எவரிடமும் பணம் பெற மாட்டேன்.
4. வாடிக்கையாளரின் தனிப்பட்ட தகவல்களை ரகசியமாக வைத்திருப்பேன்.
5. என் தவறுகளை ஒப்புக்கொண்டு திருத்துவேன்; கற்றுக்கொண்டே இருப்பேன்.
6. வாடிக்கையாளரின் சுயமரியாதையையும் முடிவெடுக்கும் உரிமையையும் மதிப்பேன்.

11. தொடரின் நிறைவுச் சிந்தனை

எண்கள் சொற்களைப் போல மனிதரால் உருவாக்கப்பட்ட குறியீடுகள்; அவற்றுக்கு நாம் தரும் பொருளே அவற்றுக்கு உயிர் தருகிறது. எண் கணிதம் ஒருவரின் வாழ்க்கையை நிர்ணயிக்கும் சட்டம் அல்ல; வாழ்க்கையை நிதானமாகப் பார்க்கச் சொல்லும் ஓர் அழைப்பு. நீங்கள் உங்கள் எண்களில் ஒரு பலத்தைக் கண்டு உற்சாகம் அடையலாம்; ஒரு சவாலைக் கண்டு எச்சரிக்கை அடையலாம். ஆனால் இறுதியில் செயல்படுவது நீங்கள்தான். உங்கள் அன்றாட முடிவுகள், உழைப்பு, அன்பு, பொறுப்பு ஆகியவையே உங்கள் வாழ்க்கையை வடிவமைக்கும்.

இந்தப் பாடத்தொடரைப் பொறுமையாகப் படித்து, பயிற்சி செய்து, கேள்வி கேட்ட அனைவருக்கும் நன்றி. தொடர்ந்து கற்றுக்கொண்டே இருங்கள்; கற்றதை ஒவ்வொருவரின் நன்மைக்காகப் பொறுப்புடன் பயன்படுத்துங்கள்.

12. இறுதிப் பயிற்சிகள்

1. தொடரின் ஒன்பது அடிப்படைப் பாடங்களை (பகுதி 3) உங்கள் சொந்த வார்த்தைகளில் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு வாக்கியம் எழுதி மீண்டும் எழுதுங்கள்.
2. பகுதி 4 இன் சுய மதிப்பீட்டு அட்டவணையை நிரப்பி, உங்களுக்கு மிகப் பலவீனமான இரண்டு பகுதிகளைத் தேர்ந்தெடுத்து அடுத்த 30 நாளுக்கான பயிற்சித் திட்டம் எழுதுங்கள்.
3. பகுதி 5 இன் தலைப்புகளில் ஒன்றை (எ.கா. கல்டியன் முறை) தேர்ந்தெடுத்து, நம்பகமான இரண்டு மூலங்களை ஒப்பிட்டு, அவற்றின் வேறுபாடுகளை ஒரு பக்க அறிக்கையாக எழுதுங்கள்.
4. பகுதி 7 இன் பன்னிரண்டு மாதத் திட்டத்தை உங்கள் நோக்கத்துக்கு ஏற்ப மாற்றி உங்கள் நாட்குறிப்பில் ஒட்டிக்கொள்ளுங்கள்.
5. பகுதி 10 இன் நெறிமுறை உறுதிமொழியை உங்கள் சொந்த வார்த்தைகளில் எழுதி, கண்ணில் படும் இடத்தில் வையுங்கள்.

சுருக்கம்

29 பாடங்களில் நாம் எழுத்து–எண் மொழி, மைய எண்கள், முதன்மை எண்கள், பெயர் மற்றும் பிறந்த தேதி ஆய்வு, காலச் சுழற்சிகள், பொருத்தம், உறவுகள், வீடு, பெயர் மாற்றம், பணித்தாள்கள், Reading, உதாரண ஆய்வுகள், பயிற்சிகள் ஆகியவற்றைக் கற்றோம். இந்த இறுதிப் பாடத்தில் அவற்றைத் தொகுத்து நினைவூட்டினோம்; உங்கள் நிலையை மதிப்பிடும் அட்டவணையையும் மேலும் கற்கக்கூடிய தலைப்புகளையும் சுய வளர்ச்சி, ஆலோசகர், ஆய்வு ஆகிய மூன்று கற்றல் பாதைகளையும் பன்னிரண்டு மாதத் திட்டத்தையும் நெறிமுறை உறுதிமொழியையும் பார்த்தோம். எண் கணிதத்தை எப்போதும் வழிகாட்டும் கருவியாக, நேர்மையுடனும் பணிவுடனும் பயன்படுத்துங்கள். இத்துடன் “எண் கணிதம்” பாடத்தொடர் நிறைவடைகிறது; உங்கள் கற்றல் பயணம் தொடரட்டும்.